Determinantes

Introducción

En el álgebra lineal, el determinante es un número que se asocia a una matriz cuadrada y que proporciona información crucial sobre sus propiedades, como la invertibilidad y la relación entre sus filas y columnas. Se denota como det A o |A|. A continuación, exploraremos qué es un determinante, sus características, métodos de evaluación y propiedades, basado en el contenido del documento proporcionado.

Definición de determinante

El determinante se define para matrices cuadradas de orden 𝑛.

Métodos de evaluación

Expansión por cofactores

El determinante de una matriz de cualquier tamaño 𝑛 × 𝑛 puede calcularse mediante la expansión por cofactores. Este método implica seleccionar una fila o una columna y sumar los productos de cada elemento de esa fila o columna por su cofactor.

Por ejemplo, para una matriz 3×3, se puede expandir a lo largo de la primera fila:

det(𝐴)= 𝑎11𝐶11 − 𝑎12𝐶12 + 𝑎13𝐶13

donde 𝐶𝑖𝑗 es el cofactor correspondiente al elemento 𝑎𝑖𝑗

Método Mnemotécnico para 2×2

Para matrices 2×2, el método mnemotécnico implica multiplicar los elementos de la diagonal principal y restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria:

det(𝐴)= 𝑎11𝑎22 −𝑎12𝑎21

Propiedades de los determinantes

Determinante de la matriz identidad:

det(𝐼)=1

para cualquier matriz identidad 𝐼.

Intercambio de filas:

Intercambiar dos filas de una matriz cambia el signo del determinante.

Fila multiplicada por un escalar:

Multiplicar una fila por un escalar 𝑘 multiplica el determinante por 𝑘.

Fila añadida a otra:

Añadir una fila multiplicada por un escalar a otra fila no cambia el determinante.

Determinante de una matriz triangular:

El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Conclusión

Los determinantes son una herramienta esencial en el álgebra lineal, proporcionando información crítica sobre matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Entender su cálculo y propiedades es fundamental para muchas aplicaciones en matemáticas, física e ingeniería.